En fraga som jag länge har tänkt pa, även om den ter sig lite underlig, är om romarna behärskade matematiken "division", dvs delning. Anledningen till att de inte skulle behärska detta var att de saknade siffran "0" i sitt talsystem och inte kunde arbeta med decimaltal vilket hindrare utvecklingen i rommarriket. Jag hörde detta av min gamla mattelärare pa gymnasiet. Nagonsom vet mer/bättre?
Pi (=3.1415926534...) kunde de verkligen räkna med denna konstatnt, eller roten ur 2 (=1.414213562...)? Om ja, hur gick de da till väga? Det maste ha tett sig svart med talen I, V, X, L, C, D, M.
Varför tog de inte efter siffersystemet av arberna, där siffrorna innerhaller ett större matematiskt spelrum?
Mvh Andreas Wien
Använde romarna siffran "0"?
-
Andreas Wien
- Medlem
- Inlägg: 758
- Blev medlem: 23 mars 2002, 19:09
- Ort: Wien, Österrike
-
Johan Elisson
- Medlem
- Inlägg: 3530
- Blev medlem: 23 mars 2002, 17:58
- Ort: Rikets värn i väst.
-
Andreas Wien
- Medlem
- Inlägg: 758
- Blev medlem: 23 mars 2002, 19:09
- Ort: Wien, Österrike
Det var väl den grekiska kulturen och dess matematiker som började med att definera konstanter som Pi och "roten ur 2", eller tog de bara efter fran araberna och/eller egypterna?
Rommarna tog ju och använde sig mycket av den grekiska kulturen i sitt rike, sa varför inte deras matematiska kunskap?
När kom egentligen siffran "0" upp i den matematiska läran. De torde väl i början ha varit svart för dem att första innebörden av ett ett tal som symboliserar just "inget"?
Mvh Andreas Wien
Rommarna tog ju och använde sig mycket av den grekiska kulturen i sitt rike, sa varför inte deras matematiska kunskap?
När kom egentligen siffran "0" upp i den matematiska läran. De torde väl i början ha varit svart för dem att första innebörden av ett ett tal som symboliserar just "inget"?
Mvh Andreas Wien
Nej, det var grekerna - främst under Hellenistisk tid som när de började insupa kunskapen från andra kulturer (främst egyptisk) - som började definera de olika matematiska problemen.Andreas Wien skrev:Det var väl den grekiska kulturen och dess matematiker som började med att definera konstanter som Pi och "roten ur 2", eller tog de bara efter fran araberna och/eller egypterna?
Araberna (vilkas storhetstid inte infaller förrän långt senare på och tar sin början i slutet av 600- och början av 700-talet) tog över mycket av de grekiska/romerska slutsatserna i och med att man kom över stora mängder av deras bibliotek - tyvärr förstördes det största i Alexandria.
Araberna översatte de antika verken till arabiska och började själv - med sina nyvunna kunskaper från greker,indier o.s.v. att sätta sina spår i matematiken som t.ex. algebra, siffror och 0.
De nyttjade säkerligen dessa idéer, men romarna var sällan några som utvecklade egna teser utan anamade bara andra kulturers framgångar som sina egna.Rommarna tog ju och använde sig mycket av den grekiska kulturen i sitt rike, sa varför inte deras matematiska kunskap?
Någon gång under 900-talet skulle jag tro - har iofs inte några böcker där jag sitter, men ag tror jag kan kolla upp det bättre.När kom egentligen siffran "0" upp i den matematiska läran. De torde väl i början ha varit svart för dem att första innebörden av ett ett tal som symboliserar just "inget"?
-
Karl Bruno
- Medlem
- Inlägg: 329
- Blev medlem: 24 mars 2002, 00:56
- Ort: ...
De gamla kineserna räknade med hjälp av ett räknebräde, rutat ungefär som ett schackbräde. I dessa rutor lades olika antal decimeterlånga stavar, vilket antagligen gav upphov till både positionsvärde, nollan (tom ruta - symbolen var alltså ursprungligen fyrkantig) och så småningom decimalsystemet. På samma sätt har övriga kinesiska tecken för siffrorna uppkommit: ett var ett streck (stav), två två, etc, upp till fem, och sedan streck i vinkel, osv. Tvåtusenår innan europeerna satt sig in i matematikens högre mysterier räknade kineserna redan med linjära ekvationer, ekvationssystem, andragradsekvationer och ekvationer av alla grader upp till den tionde. Hur förhållandet var mellan den kinesiska och den indiska, likaledes väl utvecklade matematiska kulturen, vet jag inte.
Egypterna hade också ett väl utvecklat räknesystem, med avancerade system för algoritmer, etc, trots att de inte hade någon nolla. De hade t ex fullt klart för sig att två tredjedelar av en femtedel är lika med en femtedel plus en sjättedel av en femtedel, även om de hade helt andra sätt att räkna ut det och att notera det. Huruvida egypterna påverkat grekerna är svårt att se, dels för att det egyptiska bevarade materialet är väldigt litet, dels för att systemen ser helt olika ut och skrivs på helt olika sätt. Men åtminstone Platon (litet senare än Pythagoras) var i Egypten och studerade några år.
Pi har använts i olika approximationer i många kulturer. Israeliterna räknade med 3 när de byggde Salomos tempel, egypterna räknade med 22/7 (3,142857...), liksom Pythagoras, medan indierna räknade med kvadratroten ur 10 (3,16227766...). Kineserna var som vanligt tidiga, försigkomna och exakta, och räknade redan ett halvt årtusende före Kristus, ungefär samtidigt med Pythagoras, med värdet 355/113 (3,141592920...), dvs rätt åtminstone till sjunde decimalen).
Egypterna hade också ett väl utvecklat räknesystem, med avancerade system för algoritmer, etc, trots att de inte hade någon nolla. De hade t ex fullt klart för sig att två tredjedelar av en femtedel är lika med en femtedel plus en sjättedel av en femtedel, även om de hade helt andra sätt att räkna ut det och att notera det. Huruvida egypterna påverkat grekerna är svårt att se, dels för att det egyptiska bevarade materialet är väldigt litet, dels för att systemen ser helt olika ut och skrivs på helt olika sätt. Men åtminstone Platon (litet senare än Pythagoras) var i Egypten och studerade några år.
Pi har använts i olika approximationer i många kulturer. Israeliterna räknade med 3 när de byggde Salomos tempel, egypterna räknade med 22/7 (3,142857...), liksom Pythagoras, medan indierna räknade med kvadratroten ur 10 (3,16227766...). Kineserna var som vanligt tidiga, försigkomna och exakta, och räknade redan ett halvt årtusende före Kristus, ungefär samtidigt med Pythagoras, med värdet 355/113 (3,141592920...), dvs rätt åtminstone till sjunde decimalen).
Tja, de hade ju trots allt lärt sig en hel del av både greker, egypter o.s.v. och de hade ju trots allt byggt en hel del de oxå.Karl Bruno skrev:Lite smått off-topic - någon som vet hur det kom sig att romarna var så dugliga ingenjörer om de saknade mer avancerad matematik?
Grekerna kunde ju trots - avsaknaden av arabiska siffror, noll o.s.v. räkna ut t.ex. radien - på några mil när - jordens omkrets o.s.v.
Re: Använde rommarna siffran "0"?
Du skrev förresten fel på sista decimalen där - det ska vara en femma (eller sexa om man avrundar).Andreas Wien skrev:Pi (=3.1415926534...)
-
Andreas Wien
- Medlem
- Inlägg: 758
- Blev medlem: 23 mars 2002, 19:09
- Ort: Wien, Österrike
-
Den stegrande kamelen
- Medlem
- Inlägg: 991
- Blev medlem: 23 mars 2002, 21:08
- Ort: Göteborg
- Kontakt:
De hade klart för sig mer än jag i alla fall, de goda egyptierna, för den uträkningen förstår jag inte alls. Som jag tolkar det där så skulle det betyda att två tredjedelar av en femtedel är större än en femtedel? Jag måste ha glömt mer än jag trodde av skolmatten...Lindir skrev:Egypterna hade också ett väl utvecklat räknesystem, med avancerade system för algoritmer, etc, trots att de inte hade någon nolla. De hade t ex fullt klart för sig att två tredjedelar av en femtedel är lika med en femtedel plus en sjättedel av en femtedel, även om de hade helt andra sätt att räkna ut det och att notera det.
Hoppsan!Den stegrande kamelen skrev:De hade klart för sig mer än jag i alla fall, de goda egyptierna, för den uträkningen förstår jag inte alls. Som jag tolkar det där så skulle det betyda att två tredjedelar av en femtedel är större än en femtedel? Jag måste ha glömt mer än jag trodde av skolmatten...Lindir skrev:Egypterna hade också ett väl utvecklat räknesystem, med avancerade system för algoritmer, etc, trots att de inte hade någon nolla. De hade t ex fullt klart för sig att två tredjedelar av en femtedel är lika med en femtedel plus en sjättedel av en femtedel, även om de hade helt andra sätt att räkna ut det och att notera det.
Jag försöker igen: två tredjedelar av en femtedel är lika med hälften av en femtedel plus en sjättedel av en femtedel.
Bättre så ...?
-
Den stegrande kamelen
- Medlem
- Inlägg: 991
- Blev medlem: 23 mars 2002, 21:08
- Ort: Göteborg
- Kontakt:
Mycket bättre!Lindir skrev:Jag försöker igen: två tredjedelar av en femtedel är lika med hälften av en femtedel plus en sjättedel av en femtedel.
Bättre så ...?
Fast femtedelen har egentligen inte så mycket med saken att göra, vad det uttrycket säger är bara att en halv plus en sjättedel är lika med två tredjedelar.
Nej, men det får du i så fall hälsa de gamla egypterna.Den stegrande kamelen skrev:Fast femtedelen har egentligen inte så mycket med saken att göra,
Just det, men det var inte så självklart för tre och ett halvt tusen år sedan ... Grundfrågan (som kom från dem och inte från mig) var hur man kunde få fram två tredjedelar av ett godtyckligt valt bråk, som råkade bli en femtedel i exemplet. Så här formulerade sig den egyptiske skrivaren Ahmes/Amos (1500-talet f. Kr.):Den stegrande kamelen skrev:vad det uttrycket säger är bara att en halv plus en sjättedel är lika med två tredjedelar.
"Göra två tredjedelar av ett udda bråk. Om man säger dig: 'Vad är två tredjedelar av en femtedel?' gör du två av det och sedan sex av det."
Reella tal
Förutom diskussionen om talet noll, vilken är nog så viktig, så behandlar frågeställningen egentligen mängden av reella tal.
De första evolutionära stegen inom aritmetiken tar sin början med de naturliga talen, de hela talen och de rationella talen. Mängden av de naturliga talen inkluderar även talet noll och i de hela talen innefattas även negativa tal.
När man tar steget till mängden av de rationella dalen innefattas även bråk-tal, dvs tal som inte är hela tal. Bråktal kan även skrivas som decimaltal, men många bråk kan inte fullständigt beskrivas som decimatal eftersom de innehåller ett oändligt antal decimaler. Exempelvis en tredjedel.
Pythagoras grundade en skola eller snarare ett hemligt sällskap eller en sekt i södra Italien. Pythagoreernas världsbild byggde på att allting kunde beskrivas med tal. Ett tal enligt dem var något som kunde beskrivas som ett bråk av heltal.
När man insåg att mängden av rationella tal inte räckte för att beskriva samtliga tal var detta en upptäckt av i det närmaste domedagsliknande proportioner och man svor att hålla detta hemligt. Hemligheten läckte dock ut så småningom och världen öppnades upp för de reella talen.
Roten ur två är exempel på ett reellt tal. Det har ett oändligt antal decimaler, men det kan inte skrivas som ett bråk och är därmed inte ett rationellt tal.
Använde sig då romarna av division? Det förefaller troligt, även om jag inte kan ge några exempel, att romarna skulle ha kunnat beskriva förhållanden mellan hela tal. Det vill säga bråk eller i princip rationella tal.
Division utan att ha en konceptuell nolla blir naturligtvis begränsad, men begränsningen blir inte lika kännbar om man inte heller använder sig av negativa tal.
Slutsatsen är måhända att man kan komma ganska långt med bråk och subtraktion mellan positiva tal som substitut för fullständig division. Eller blir den att romarna inte i någon vidare utsträckning ägnat sig åt högre aritmetik eller matematik för den delen.
De första evolutionära stegen inom aritmetiken tar sin början med de naturliga talen, de hela talen och de rationella talen. Mängden av de naturliga talen inkluderar även talet noll och i de hela talen innefattas även negativa tal.
När man tar steget till mängden av de rationella dalen innefattas även bråk-tal, dvs tal som inte är hela tal. Bråktal kan även skrivas som decimaltal, men många bråk kan inte fullständigt beskrivas som decimatal eftersom de innehåller ett oändligt antal decimaler. Exempelvis en tredjedel.
Pythagoras grundade en skola eller snarare ett hemligt sällskap eller en sekt i södra Italien. Pythagoreernas världsbild byggde på att allting kunde beskrivas med tal. Ett tal enligt dem var något som kunde beskrivas som ett bråk av heltal.
När man insåg att mängden av rationella tal inte räckte för att beskriva samtliga tal var detta en upptäckt av i det närmaste domedagsliknande proportioner och man svor att hålla detta hemligt. Hemligheten läckte dock ut så småningom och världen öppnades upp för de reella talen.
Roten ur två är exempel på ett reellt tal. Det har ett oändligt antal decimaler, men det kan inte skrivas som ett bråk och är därmed inte ett rationellt tal.
Använde sig då romarna av division? Det förefaller troligt, även om jag inte kan ge några exempel, att romarna skulle ha kunnat beskriva förhållanden mellan hela tal. Det vill säga bråk eller i princip rationella tal.
Division utan att ha en konceptuell nolla blir naturligtvis begränsad, men begränsningen blir inte lika kännbar om man inte heller använder sig av negativa tal.
Slutsatsen är måhända att man kan komma ganska långt med bråk och subtraktion mellan positiva tal som substitut för fullständig division. Eller blir den att romarna inte i någon vidare utsträckning ägnat sig åt högre aritmetik eller matematik för den delen.